MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O cutie dreptunghiulară cu baza pătrată trebuie să aibă volumul de 1000 cm³. Costul materialului pentru baza este de 0.5 u.m./cm², iar pentru fețele laterale este de 0.3 u.m./cm². Exprimați costul total al materialului în funcție de latura bazei și determinați dimensiunile cutiei pentru care costul este minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Fie xx latura bazei (în cm) și hh înălțimea cutiei. Volumul: V=x2h=1000⇒h=1000x2V = x^2 h = 1000 \Rightarrow h = \frac{1000}{x^2}.
23 puncte
Aria bazei: x2x^2, cost baza: 0.5⋅x20.5 \cdot x^2. Aria laterală: 4⋅x⋅h=4x⋅1000x2=4000x4 \cdot x \cdot h = 4x \cdot \frac{1000}{x^2} = \frac{4000}{x}, cost lateral: 0.3⋅4000x=1200x0.3 \cdot \frac{4000}{x} = \frac{1200}{x}. Costul total: C(x)=0.5x2+1200xC(x) = 0.5x^2 + \frac{1200}{x}, cu x>0x > 0.
32 puncte
Calculăm derivata: C′(x)=1.0x−1200x2=x−1200x2C'(x) = 1.0x - \frac{1200}{x^2} = x - \frac{1200}{x^2}.
42 puncte
C′(x)=0⇒x−1200x2=0⇒x3=1200⇒x=12003C'(x) = 0 \Rightarrow x - \frac{1200}{x^2} = 0 \Rightarrow x^3 = 1200 \Rightarrow x = \sqrt[3]{1200}. Verificăm semnul derivatei: pentru x<12003x < \sqrt[3]{1200}, C′(x)<0C'(x) < 0 (funcție descrescătoare), pentru x>12003x > \sqrt[3]{1200}, C′(x)>0C'(x) > 0 (funcție crescătoare), deci x=12003x = \sqrt[3]{1200} este punct de minim. Atunci h=1000(12003)2=100012002/3h = \frac{1000}{(\sqrt[3]{1200})^2} = \frac{1000}{1200^{2/3}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.