MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieMatriciGrupuri
Pe mulțimea matricelor pătratice de ordinul 2 cu elemente reale, M2(R)M_2(\mathbb{R}), se definește legea de compoziție A∗B=AB+BAA * B = AB + BA, unde ABAB este produsul obișnuit al matricelor. a) Verificați dacă legea este comutativă. b) Studiați asociativitatea pentru cazul particular al matricelor diagonale; dați un contraexemplu dacă nu este asociativă. c) Cercetați existența elementului neutru.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Verificarea comutativității. Pentru orice A,B∈M2(R)A, B \in M_2(\mathbb{R}), avem A∗B=AB+BAA*B = AB + BA și B∗A=BA+ABB*A = BA + AB. Deoarece adunarea matricelor este comutativă, AB+BA=BA+ABAB + BA = BA + AB, deci A∗B=B∗AA*B = B*A; legea este comutativă.
24 puncte
Studierea asociativității pentru matrici diagonale. Fie A=(a00b)A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}, B=(c00d)B = \begin{pmatrix} c & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}, C=(e00f)C = \begin{pmatrix} e & 0 \\ 0 & f \end{pmatrix} matrici diagonale. Se calculează (A∗B)∗C=(AB+BA)∗C=((ac00bd)+(ca00db))∗C=(2ac002bd)∗C=(2ac002bd)C+C(2ac002bd)=(2ace002bdf)+(2ace002bdf)=(4ace004bdf)(A*B)*C = (AB + BA)*C = (\begin{pmatrix} ac & 0 \\ 0 & bd \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} ca & 0 \\ 0 & db \end{pmatrix})*C = \begin{pmatrix} 2ac & 0 \\ 0 & 2bd \end{pmatrix}*C = \begin{pmatrix} 2ac & 0 \\ 0 & 2bd \end{pmatrix}C + C\begin{pmatrix} 2ac & 0 \\ 0 & 2bd \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2ace & 0 \\ 0 & 2bdf \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2ace & 0 \\ 0 & 2bdf \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4ace & 0 \\ 0 & 4bdf \end{pmatrix}. Similar, A∗(B∗C)=A∗(BC+CB)=A∗(2ce002df)=A(2ce002df)+(2ce002df)A=(2ace002bdf)+(2ace002bdf)=(4ace004bdf)A*(B*C) = A*(BC + CB) = A*\begin{pmatrix} 2ce & 0 \\ 0 & 2df \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} 2ce & 0 \\ 0 & 2df \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2ce & 0 \\ 0 & 2df \end{pmatrix}A = \begin{pmatrix} 2ace & 0 \\ 0 & 2bdf \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2ace & 0 \\ 0 & 2bdf \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4ace & 0 \\ 0 & 4bdf \end{pmatrix}. În acest caz, (A∗B)∗C=A∗(B∗C)(A*B)*C = A*(B*C), dar pentru a demonstra neasociativitatea în general, se poate da un contraexemplu cu matrici nediagonale, de exemplu A=(1000)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, B=(0100)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, C=(0010)C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}; calculele arată că (A∗B)∗C≠A∗(B∗C)(A*B)*C \neq A*(B*C), deci legea nu este asociativă în general.
32 puncte
Căutarea elementului neutru. Fie EE elementul neutru, atunci A∗E=AA*E = A pentru orice A∈M2(R)A \in M_2(\mathbb{R}). Rezultă AE+EA=AAE + EA = A. Pentru matricea identitate I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, avem A∗I=AI+IA=A+A=2A≠AA*I = AI + IA = A + A = 2A \neq A dacă A≠0A \neq 0, deci nu există element neutru.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.