MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAplicații ale trigonometriei în geometrie
În triunghiul dreptunghic ABC, cu unghiul drept în C, se știe că tan⁡A=2\tan A = 2 și perimetrul triunghiului este P=12P = 12. Aflați lungimile laturilor aa, bb, cc (opuse unghiurilor A, B, C respectiv).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Din tan⁡A=ab=2\tan A = \frac{a}{b} = 2, rezultă a=2ba = 2b. Într-un triunghi dreptunghic, c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2.
23 puncte
Perimetrul este P=a+b+c=12P = a + b + c = 12. Înlocuiți a=2ba = 2b pentru a obține 2b+b+c=122b + b + c = 12, adică 3b+c=123b + c = 12.
32 puncte
Din c2=(2b)2+b2=4b2+b2=5b2c^2 = (2b)^2 + b^2 = 4b^2 + b^2 = 5b^2, deci c=b5c = b\sqrt{5} (lungimile sunt pozitive).
42 puncte
Înlocuiți c=b5c = b\sqrt{5} în 3b+c=123b + c = 12: 3b+b5=12⇒b(3+5)=12⇒b=123+53b + b\sqrt{5} = 12 \Rightarrow b(3 + \sqrt{5}) = 12 \Rightarrow b = \frac{12}{3+\sqrt{5}}. Raționalizați: b=12(3−5)(3+5)(3−5)=12(3−5)9−5=3(3−5)=9−35b = \frac{12(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{12(3-\sqrt{5})}{9-5} = 3(3-\sqrt{5}) = 9 - 3\sqrt{5}. Apoi a=2b=18−65a = 2b = 18 - 6\sqrt{5} și c=b5=(9−35)5=95−15c = b\sqrt{5} = (9-3\sqrt{5})\sqrt{5} = 9\sqrt{5} - 15.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.