MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Legea de mișcare a unei particule pe axa Ox este dată de s(t)=t3−6t2+9t+1s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 1, unde ss este poziția în metri și tt timpul în secunde, cu t≥0t \geq 0. a) Calculați viteza v(t)v(t) și accelerația a(t)a(t). b) Determinați momentele tt pentru care viteza este nulă. c) Stabiliți intervalele de timp în care mișcarea este accelerată (viteza și accelerația au același semn) și cele în care este întârziată (viteza și accelerația au semne opuse).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Viteza este derivata poziției: v(t)=s′(t)=3t2−12t+9v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9. Accelerația este derivata vitezei: a(t)=v′(t)=s′′(t)=6t−12a(t) = v'(t) = s''(t) = 6t - 12. \
23 puncte
Pentru viteza nulă, rezolvăm v(t)=0⇒3t2−12t+9=0⇒t2−4t+3=0⇒t=1v(t) = 0 \Rightarrow 3t^2 - 12t + 9 = 0 \Rightarrow t^2 - 4t + 3 = 0 \Rightarrow t = 1 sau t=3t = 3 secunde. \
34 puncte
Mișcarea este accelerată când v(t)⋅a(t)>0v(t) \cdot a(t) > 0 și întârziată când v(t)⋅a(t)<0v(t) \cdot a(t) < 0. Calculăm v(t)⋅a(t)=(3t2−12t+9)(6t−12)v(t) \cdot a(t) = (3t^2 - 12t + 9)(6t - 12). Studiem semnul acestui produs: punctele critice sunt t=1t=1, t=2t=2 (unde a(t)=0a(t)=0) și t=3t=3. Pe intervalele [0,1)[0,1), (1,2)(1,2), (2,3)(2,3), (3,∞)(3,\infty), determinăm semnul: pozitiv pe (1,2)(1,2) și (3,∞)(3,\infty) (mișcare accelerată), negativ pe [0,1)[0,1) și (2,3)(2,3) (mișcare întârziată).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.