MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Numerele complexe 1+i,x+yi,−1+2i1+i, x+yi, -1+2i sunt în progresie geometrică. Să se determine numerele reale xx și yy. Apoi, să se calculeze modulul lui b=x+yib = x+yi.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Condiția pentru progresie geometrică este (x+yi)2=(1+i)(−1+2i)(x+yi)^2 = (1+i)(-1+2i). Calculăm produsul: (1+i)(−1+2i)=−1+2i−i+2i2=−1+i−2=−3+i(1+i)(-1+2i) = -1 + 2i - i + 2i^2 = -1 + i - 2 = -3 + i. Deci (x+yi)2=−3+i(x+yi)^2 = -3 + i.
23 puncte
Dezvoltăm (x+yi)2=x2−y2+2xyi(x+yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi. Echivalăm părțile reale și imaginare: x2−y2=−3x^2 - y^2 = -3 și 2xy=12xy = 1.
33 puncte
Rezolvăm sistemul de ecuații. Din 2xy=12xy=1, avem xy=12xy = \frac{1}{2}. Prin rezolvare, obținem soluțiile x=22x = \frac{\sqrt{2}}{2}, y=22y = \frac{\sqrt{2}}{2} sau x=−22x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, y=−22y = -\frac{\sqrt{2}}{2}. Apoi calculăm modulul: ∣b∣=x2+y2=(22)2+(22)2=12+12=1=1|b| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.