MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeTrigonometrie
Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficele funcțiilor f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x și g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x pe intervalul [0,π][0, \pi].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificați punctele de intersecție ale curbelor rezolvând ecuația sin⁡x=cos⁡x\sin x = \cos x pe [0,π][0, \pi]. Se obține x=π4x = \frac{\pi}{4}.
23 puncte
Determinați ordinea funcțiilor pe subintervale. Pe [0,π4][0, \frac{\pi}{4}], cos⁡x≥sin⁡x\cos x \geq \sin x; pe [π4,π][\frac{\pi}{4}, \pi], sin⁡x≥cos⁡x\sin x \geq \cos x.
33 puncte
Scrieți integrala pentru arie: A=∫0π4(cos⁡x−sin⁡x)dx+∫π4π(sin⁡x−cos⁡x)dxA = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} (\sin x - \cos x) dx.
42 puncte
Calculați integralele: ∫(cos⁡x−sin⁡x)dx=sin⁡x+cos⁡x+C\int (\cos x - \sin x) dx = \sin x + \cos x + C, deci A=[sin⁡x+cos⁡x]0π4+[−cos⁡x−sin⁡x]π4π=(22+22)−(0+1)+((−1−0)−(−22−22))=2−1+(−1+2)=22−2A = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} + [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0+1) + ((-1-0) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})) = \sqrt{2} - 1 + (-1 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.