MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere Complexe
Fie numărul complex z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos\theta + i\sin\theta, unde θ∈R\theta \in \mathbb{R}. Să se calculeze znz^n pentru n∈N∗n \in \mathbb{N}^* și să se deducă formula lui Moivre. Apoi, folosind această formulă, să se exprime cos⁡(3θ)\cos(3\theta) și sin⁡(3θ)\sin(3\theta) în funcție de cos⁡θ\cos\theta și sin⁡θ\sin\theta.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Prin inducție matematică sau proprietăți, se obține că zn=(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)z^n = (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta), ceea ce este formula lui Moivre.
26 puncte
Pentru n=3n=3, avem (cos⁡θ+isin⁡θ)3=cos⁡(3θ)+isin⁡(3θ)(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos(3\theta) + i\sin(3\theta). Dezvoltând cu binomul lui Newton: (cos⁡θ+isin⁡θ)3=cos⁡3θ+3icos⁡2θsin⁡θ+3i2cos⁡θsin⁡2θ+i3sin⁡3θ=cos⁡3θ−3cos⁡θsin⁡2θ+i(3cos⁡2θsin⁡θ−sin⁡3θ)(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta + 3i^2\cos\theta\sin^2\theta + i^3\sin^3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta + i(3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta). Identificând părțile reale și imaginare, obținem cos⁡(3θ)=cos⁡3θ−3cos⁡θsin⁡2θ\cos(3\theta) = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta și sin⁡(3θ)=3cos⁡2θsin⁡θ−sin⁡3θ\sin(3\theta) = 3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.