MediuMatriciClasa 12

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciNumere ComplexeLegi de compoziție
Se consideră matricele de forma Ma,b=(a−bba)M_{a,b} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Demonstrați că mulțimea M={Ma,b∣a,b∈R}M = \{ M_{a,b} \mid a, b \in \mathbb{R} \} este închisă față de adunarea și înmulțirea matricelor. b) Arătați că aplicația f:C→Mf : \mathbb{C} \to M, definită prin f(a+bi)=Ma,bf(a+bi) = M_{a,b}, este un izomorfism de corpuri. c) Folosind izomorfismul ff, exprimați Ma,bnM_{a,b}^n pentru n∈N∗n \in \mathbb{N}^* în funcție de puterea (a+bi)n(a+bi)^n.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Pentru adunare, se consideră Ma,b+Mc,d=(a+c−(b+d)b+da+c)=Ma+c,b+d∈MM_{a,b} + M_{c,d} = \begin{pmatrix} a+c & -(b+d) \\ b+d & a+c \end{pmatrix} = M_{a+c, b+d} \in M, deci MM este închisă la adunare.
23 puncte
Pentru înmulțire, Ma,b⋅Mc,d=(ac−bd−(ad+bc)ad+bcac−bd)=Mac−bd,ad+bc∈MM_{a,b} \cdot M_{c,d} = \begin{pmatrix} ac - bd & -(ad+bc) \\ ad+bc & ac - bd \end{pmatrix} = M_{ac-bd, ad+bc} \in M, deci MM este închisă la înmulțire.
33 puncte
Se verifică că ff este bijectivă și păstrează operațiile: f((a+bi)+(c+di))=f((a+c)+(b+d)i)=Ma+c,b+d=Ma,b+Mc,d=f(a+bi)+f(c+di)f((a+bi)+(c+di)) = f((a+c)+(b+d)i) = M_{a+c, b+d} = M_{a,b} + M_{c,d} = f(a+bi) + f(c+di) și f((a+bi)(c+di))=f((ac−bd)+(ad+bc)i)=Mac−bd,ad+bc=Ma,b⋅Mc,d=f(a+bi)⋅f(c+di)f((a+bi)(c+di)) = f((ac-bd)+(ad+bc)i) = M_{ac-bd, ad+bc} = M_{a,b} \cdot M_{c,d} = f(a+bi) \cdot f(c+di).
42 puncte
Deoarece ff este izomorfism, Ma,bn=f((a+bi)n)M_{a,b}^n = f((a+bi)^n). Prin urmare, Ma,bn=MRe((a+bi)n),Im((a+bi)n)M_{a,b}^n = M_{\text{Re}((a+bi)^n), \text{Im}((a+bi)^n)}, unde Re(z)\text{Re}(z) și Im(z)\text{Im}(z) sunt partea reală și imaginară a lui z∈Cz \in \mathbb{C}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.