MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeGeometrie Analitică
În planul complex, punctele AA, BB, CC au afixele numerelor complexe aa, bb, cc astfel încât ∣a∣=∣b∣=∣c∣=1|a| = |b| = |c| = 1 și a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că triunghiul ABCABC este echilateral.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Condiția ∣a∣=∣b∣=∣c∣=1|a| = |b| = |c| = 1 implică faptul că punctele AA, BB, CC se află pe cercul unitate în planul complex.
23 puncte
Din a+b+c=0a + b + c = 0, obținem c=−a−bc = -a - b. Scriem aa și bb în formă trigonometrică: a=cos⁡α+isin⁡αa = \cos \alpha + i \sin \alpha, b=cos⁡β+isin⁡βb = \cos \beta + i \sin \beta, unde α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R}.
33 puncte
Calculăm distanțele între puncte. Folosind a+b+c=0a + b + c = 0, avem a+b=−ca + b = -c, deci ∣a+b∣=∣c∣=1|a + b| = |c| = 1. Atunci, ∣a−b∣2=(a−b)(a‾−b‾)=∣a∣2+∣b∣2−ab‾−a‾b=2−(ab‾+a‾b)|a - b|^2 = (a - b)(\overline{a} - \overline{b}) = |a|^2 + |b|^2 - a\overline{b} - \overline{a}b = 2 - (a\overline{b} + \overline{a}b). Similar, ∣b−c∣2=∣b−(−a−b)∣2=∣a+2b∣2|b - c|^2 = |b - (-a - b)|^2 = |a + 2b|^2, dar putem folosi simetria: din a+b+c=0a + b + c = 0, se poate arăta că ∣a−b∣=∣b−c∣=∣c−a∣|a - b| = |b - c| = |c - a| prin calcule asemănătoare sau observând că punctele sunt echidistante datorită condițiilor.
42 puncte
Din calcule, se obține că ∣a−b∣=∣b−c∣=∣c−a∣=3|a - b| = |b - c| = |c - a| = \sqrt{3} (de exemplu, folosind faptul că ab‾+a‾b=2cos⁡(α−β)a\overline{b} + \overline{a}b = 2\cos(\alpha - \beta) și din ∣a+b∣=1|a + b| = 1, rezultă cos⁡(α−β)=−12\cos(\alpha - \beta) = -\frac{1}{2}, deci ∣a−b∣=3|a - b| = \sqrt{3}). Astfel, triunghiul ABCABC are toate laturile egale, deci este echilateral.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.