MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteTrigonometriePrimitive
Să se calculeze integrala definită I=∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdxI = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aplicăm substituția x=π2−tx = \frac{\pi}{2} - t. Atunci dx=−dtdx = -dt, iar limitele de integrare devin: când x=0x=0, t=π2t=\frac{\pi}{2} și când x=π2x=\frac{\pi}{2}, t=0t=0. Integrala se transformă în I=∫π/20sin⁡(π2−t)sin⁡(π2−t)+cos⁡(π2−t)(−dt)=∫0π/2cos⁡tcos⁡t+sin⁡tdtI = \int_{\pi/2}^{0} \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - t)}{\sin(\frac{\pi}{2} - t) + \cos(\frac{\pi}{2} - t)} (-dt) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos t}{\cos t + \sin t} dt.
24 puncte
Adunăm integrala originală și cea obținută: I+I=∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdx+∫0π/2cos⁡xsin⁡x+cos⁡xdx=∫0π/2sin⁡x+cos⁡xsin⁡x+cos⁡xdx=∫0π/21dx=π2I + I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx + \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int_{0}^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}. Deci 2I=π22I = \frac{\pi}{2}.
33 puncte
Rezultă că I=π4I = \frac{\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.