MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {2x+y−z=3x−y+2z=13x+2y+z=8\begin{cases} 2x + y - z = 3 \\ x - y + 2z = 1 \\ 3x + 2y + z = 8 \end{cases}. Scrieți matricea asociată sistemului și rezolvați-l folosind metoda matricei inverse, dacă este posibil, verificând dacă soluția obținută satisface sistemul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți matricea coeficienților A=(21−11−12321)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} și matricea termenilor liberi B=(318)B = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix};
23 puncte
Calculați determinantul lui AA: det⁡(A)=2(−1⋅1−2⋅2)−1(1⋅1−2⋅3)+(−1)(1⋅2−(−1)⋅3)=2(−1−4)−1(1−6)−1(2+3)=−10+5−5=−10≠0\det(A) = 2(-1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - 1(1 \cdot 1 - 2 \cdot 3) + (-1)(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 3) = 2(-1 -4) - 1(1-6) -1(2+3) = -10 +5 -5 = -10 \neq 0, deci sistemul are soluție unică;
33 puncte
Calculați matricea inversă A−1A^{-1} folosind adjuncta: A−1=1−10(−5−3155−55−1−3)=(0.50.3−0.1−0.5−0.50.5−0.50.10.3)A^{-1} = \frac{1}{-10} \begin{pmatrix} -5 & -3 & 1 \\ 5 & 5 & -5 \\ 5 & -1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.3 & -0.1 \\ -0.5 & -0.5 & 0.5 \\ -0.5 & 0.1 & 0.3 \end{pmatrix};
42 puncte
Rezolvați sistemul cu X=A−1B=(0.50.3−0.1−0.5−0.50.5−0.50.10.3)(318)=(121)X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.3 & -0.1 \\ -0.5 & -0.5 & 0.5 \\ -0.5 & 0.1 & 0.3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, deci soluția este x=1,y=2,z=1x=1, y=2, z=1, și verificați în sistem.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.