MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie numărul complex z=a+biz = a + bi, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Se asociază lui zz matricea Az=(a−bba)A_z = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}. Demonstrați că pentru orice numere complexe z1z_1 și z2z_2, avem:
  1. Az1+z2=Az1+Az2A_{z_1 + z_2} = A_{z_1} + A_{z_2}.
  2. Az1z2=Az1⋅Az2A_{z_1 z_2} = A_{z_1} \cdot A_{z_2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se scriu z1=a1+b1iz_1 = a_1 + b_1 i și z2=a2+b2iz_2 = a_2 + b_2 i, deci Az1=(a1−b1b1a1)A_{z_1} = \begin{pmatrix} a_1 & -b_1 \\ b_1 & a_1 \end{pmatrix} și Az2=(a2−b2b2a2)A_{z_2} = \begin{pmatrix} a_2 & -b_2 \\ b_2 & a_2 \end{pmatrix}.
23 puncte
Pentru adunare: z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)iz_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i, deci Az1+z2=(a1+a2−(b1+b2)b1+b2a1+a2)A_{z_1 + z_2} = \begin{pmatrix} a_1 + a_2 & -(b_1 + b_2) \\ b_1 + b_2 & a_1 + a_2 \end{pmatrix}. Se verifică că aceasta este egală cu Az1+Az2=(a1+a2−b1−b2b1+b2a1+a2)A_{z_1} + A_{z_2} = \begin{pmatrix} a_1 + a_2 & -b_1 - b_2 \\ b_1 + b_2 & a_1 + a_2 \end{pmatrix}.
35 puncte
Pentru înmulțire: z1z2=(a1a2−b1b2)+(a1b2+a2b1)iz_1 z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i, deci Az1z2=(a1a2−b1b2−(a1b2+a2b1)a1b2+a2b1a1a2−b1b2)A_{z_1 z_2} = \begin{pmatrix} a_1 a_2 - b_1 b_2 & -(a_1 b_2 + a_2 b_1) \\ a_1 b_2 + a_2 b_1 & a_1 a_2 - b_1 b_2 \end{pmatrix}. Se calculează Az1⋅Az2=(a1−b1b1a1)⋅(a2−b2b2a2)=(a1a2−b1b2−a1b2−a2b1a1b2+a2b1a1a2−b1b2)A_{z_1} \cdot A_{z_2} = \begin{pmatrix} a_1 & -b_1 \\ b_1 & a_1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_2 & -b_2 \\ b_2 & a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 a_2 - b_1 b_2 & -a_1 b_2 - a_2 b_1 \\ a_1 b_2 + a_2 b_1 & a_1 a_2 - b_1 b_2 \end{pmatrix}, care coincide cu Az1z2A_{z_1 z_2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.