MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceLogaritmi
Fie a1,a2,a3a_1, a_2, a_3 primii trei termeni ai unei progresii geometrice cu rația q>0q > 0. Știind că log⁡2a1+log⁡2a2+log⁡2a3=6\log_2 a_1 + \log_2 a_2 + \log_2 a_3 = 6 și că a1+a2+a3=14a_1 + a_2 + a_3 = 14, determinați termenii progresiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scriem termenii progresiei: a1,a2=a1q,a3=a1q2a_1, a_2 = a_1 q, a_3 = a_1 q^2. Din condiția cu logaritmi, avem log⁡2(a1a2a3)=6\log_2 (a_1 a_2 a_3) = 6, deci a1a2a3=64a_1 a_2 a_3 = 64.
22 puncte
Obținem ecuațiile: a1a2a3=a13q3=64a_1 a_2 a_3 = a_1^3 q^3 = 64 și a1+a1q+a1q2=14a_1 + a_1 q + a_1 q^2 = 14.
32 puncte
Din a13q3=64a_1^3 q^3 = 64, deducem a1q=4a_1 q = 4 (deoarece q>0q>0).
42 puncte
Înlocuim a1=4qa_1 = \frac{4}{q} în suma: 4q+4+4q=14\frac{4}{q} + 4 + 4q = 14, care se reduce la 2q2−5q+2=02q^2 - 5q + 2 = 0. Rezolvăm și obținem q=2q=2 sau q=12q=\frac{1}{2}.
52 puncte
Pentru q=2q=2, a1=2a_1=2, deci termenii sunt 2,4,82, 4, 8. Pentru q=12q=\frac{1}{2}, a1=8a_1=8, deci termenii sunt 8,4,28, 4, 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.