MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteȘiruri de numere realeMonotonie și convexitate
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin an=∫01xnex dxa_n = \int_{0}^{1} x^n e^{x} \, dx. a) Arată că an>0a_n > 0 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. b) Demonstrează că șirul (an)(a_n) este descrescător. c) Calculează lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Pentru x∈[0,1]x \in [0,1], avem xnex>0x^n e^x > 0, deci integrala unei funcții pozitive este pozitivă, astfel an>0a_n > 0.
24 puncte
Considerăm an+1−an=∫01xn+1ex dx−∫01xnex dx=∫01xn(x−1)ex dxa_{n+1} - a_n = \int_{0}^{1} x^{n+1} e^x \, dx - \int_{0}^{1} x^n e^x \, dx = \int_{0}^{1} x^n (x - 1) e^x \, dx. Pe [0,1][0,1], xn≥0x^n \geq 0, ex>0e^x > 0, iar (x−1)≤0(x-1) \leq 0, cu egalitate doar la x=1x=1. Integrandul este negativ sau zero, deci an+1−an≤0a_{n+1} - a_n \leq 0, adică șirul este descrescător.
34 puncte
Pentru x∈[0,1]x \in [0,1], 0≤xnex≤e⋅xn0 \leq x^n e^x \leq e \cdot x^n. Integrând, 0≤an≤e∫01xn dx=en+10 \leq a_n \leq e \int_{0}^{1} x^n \, dx = \frac{e}{n+1}. Cum lim⁡n→∞en+1=0\lim_{n \to \infty} \frac{e}{n+1} = 0, prin teorema cleștelui, lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.