MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateMonotonie și convexitateStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)=x2+1exf(x) = \frac{x^2 + 1}{e^x}. Calculați derivata funcției, determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem local, apoi calculați derivata de ordinul al doilea și studiați convexitatea funcției pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=2xex−(x2+1)exe2x=2x−x2−1ex=−x2−2x+1ex=−(x−1)2exf'(x) = \frac{2x e^x - (x^2 + 1)e^x}{e^{2x}} = \frac{2x - x^2 - 1}{e^x} = -\frac{x^2 - 2x + 1}{e^x} = -\frac{(x-1)^2}{e^x}.
23 puncte
f′(x)=0⇒(x−1)2=0⇒x=1f'(x) = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 0 \Rightarrow x=1. Deoarece f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} (căci (x−1)2≥0(x-1)^2 \geq 0 și ex>0e^x > 0), funcția este descrescătoare pe R\mathbb{R} și x=1x=1 este punct de minim local, dar nu strict deoarece derivata se anulează doar într-un punct.
32 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=ddx(−(x−1)2ex)=−2(x−1)ex−(x−1)2exe2x=−(x−1)(2−(x−1))ex=−(x−1)(3−x)exf''(x) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{(x-1)^2}{e^x}\right) = -\frac{2(x-1)e^x - (x-1)^2 e^x}{e^{2x}} = -\frac{(x-1)(2 - (x-1))}{e^x} = -\frac{(x-1)(3-x)}{e^x}.
42 puncte
Studiem semnul lui f′′(x)f''(x): f′′(x)=0⇒x=1f''(x) = 0 \Rightarrow x=1 sau x=3x=3. Pentru x<1x<1, f′′(x)<0f''(x) < 0 (funcție concavă); pentru 1<x<31<x<3, f′′(x)>0f''(x) > 0 (funcție convexă); pentru x>3x>3, f′′(x)<0f''(x) < 0 (funcție concavă). Deci punctele de inflexiune sunt x=1x=1 și x=3x=3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.