MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexePolinoameGeometrie Analitică
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât z3=z‾z^3 = \overline{z}. Să se determine toate soluțiile acestei ecuații și să se arate că acestea se află pe cercul unitate, cu excepția eventuală a originii.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Verifică cazul z=0z=0; 03=00^3 = 0 și 0‾=0\overline{0}=0, deci z=0z=0 este soluție.
22 puncte
Pentru z≠0z \neq 0, notăm z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos \theta + i \sin \theta) cu r>0r>0 și θ∈[0,2π)\theta \in [0, 2\pi).
33 puncte
Substituim în ecuație: r3(cos⁡3θ+isin⁡3θ)=r(cos⁡θ−isin⁡θ)r^3 (\cos 3\theta + i \sin 3\theta) = r(\cos \theta - i \sin \theta). Echivalând părțile reale și imaginare, obținem r3cos⁡3θ=rcos⁡θr^3 \cos 3\theta = r \cos \theta și r3sin⁡3θ=−rsin⁡θr^3 \sin 3\theta = -r \sin \theta.
42 puncte
Pentru r>0r>0, din aceste ecuații rezultă r2=1r^2 = 1 și 3θ=−θ+2kπ3\theta = -\theta + 2k\pi cu k∈Zk \in \mathbb{Z}, deci r=1r=1 și θ=kπ/2\theta = k\pi/2.
52 puncte
Soluțiile sunt z=0z=0 și z=eikπ/2z = e^{i k\pi/2} pentru k=0,1,2,3k=0,1,2,3. Toate soluțiile nenule au modulul 1, deci se află pe cercul unitate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.