MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul de ecuații: {log⁡2(x)+log⁡4(y)=5log⁡4(x)+log⁡2(y)=4\begin{cases} \log_2(x) + \log_4(y) = 5 \\ \log_4(x) + \log_2(y) = 4 \end{cases}, unde x,y>0x, y > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Exprimăm logaritmii în baza 2: log⁡4(y)=log⁡2(y)2\log_4(y) = \frac{\log_2(y)}{2} și log⁡4(x)=log⁡2(x)2\log_4(x) = \frac{\log_2(x)}{2}.
23 puncte
Sistemul devine: {log⁡2(x)+12log⁡2(y)=512log⁡2(x)+log⁡2(y)=4\begin{cases} \log_2(x) + \frac{1}{2} \log_2(y) = 5 \\ \frac{1}{2} \log_2(x) + \log_2(y) = 4 \end{cases}.
33 puncte
Notăm a=log⁡2(x)a = \log_2(x) și b=log⁡2(y)b = \log_2(y). Obținem sistemul liniar: {a+12b=512a+b=4\begin{cases} a + \frac{1}{2} b = 5 \\ \frac{1}{2} a + b = 4 \end{cases}.
42 puncte
Rezolvăm sistemul: din prima ecuație, b=2(5−a)=10−2ab = 2(5 - a) = 10 - 2a. Înlocuim în a doua: 12a+10−2a=4⇒10−32a=4⇒32a=6⇒a=4\frac{1}{2} a + 10 - 2a = 4 \Rightarrow 10 - \frac{3}{2} a = 4 \Rightarrow \frac{3}{2} a = 6 \Rightarrow a = 4. Atunci b=10−2⋅4=2b = 10 - 2 \cdot 4 = 2. Deci log⁡2(x)=4⇒x=24=16\log_2(x) = 4 \Rightarrow x = 2^4 = 16 și log⁡2(y)=2⇒y=22=4\log_2(y) = 2 \Rightarrow y = 2^2 = 4. Soluția este (x,y)=(16,4)(x, y) = (16, 4).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.