MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieIdentități algebrice
Să se rezolve în intervalul [0,2π][0, 2\pi] ecuația sin⁡x+sin⁡3x=cos⁡x+cos⁡3x\sin x + \sin 3x = \cos x + \cos 3x.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Aplicăm formulele de transformare a sumei în produs: sin⁡x+sin⁡3x=2sin⁡2xcos⁡x\sin x + \sin 3x = 2 \sin 2x \cos x și cos⁡x+cos⁡3x=2cos⁡2xcos⁡x\cos x + \cos 3x = 2 \cos 2x \cos x.
22 puncte
Ecuația devine 2sin⁡2xcos⁡x=2cos⁡2xcos⁡x2 \sin 2x \cos x = 2 \cos 2x \cos x. Simplificăm prin 2cos⁡x2 \cos x (cu atenție la cazul cos⁡x=0\cos x = 0), obținând cos⁡x=0\cos x = 0 sau sin⁡2x=cos⁡2x\sin 2x = \cos 2x.
33 puncte
Rezolvăm cos⁡x=0\cos x = 0 în [0,2π][0, 2\pi], obținând x=π2x = \frac{\pi}{2} și x=3π2x = \frac{3\pi}{2}. Rezolvăm sin⁡2x=cos⁡2x\sin 2x = \cos 2x; împărțind prin cos⁡2x\cos 2x (cu condiția cos⁡2x≠0\cos 2x \neq 0), avem tan⁡2x=1\tan 2x = 1, deci 2x=π4+kπ2x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}, adică x=π8+kπ2x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2}.
43 puncte
Determinăm soluțiile din [0,2π][0, 2\pi] pentru x=π8+kπ2x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2}: pentru k=0k=0, x=π8x=\frac{\pi}{8}; k=1k=1, x=5π8x=\frac{5\pi}{8}; k=2k=2, x=9π8x=\frac{9\pi}{8}; k=3k=3, x=13π8x=\frac{13\pi}{8}; pentru k=4k=4, x>2πx>2\pi, deci nu se ia. Verificăm că nu există soluții suplimentare din cauza condiției cos⁡2x≠0\cos 2x \neq 0 (dacă cos⁡2x=0\cos 2x=0, atunci sin⁡2x=0\sin 2x=0, imposibil). Soluțiile finale sunt: x∈{π2,3π2,π8,5π8,9π8,13π8}x \in \left\{ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{9\pi}{8}, \frac{13\pi}{8} \right\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.