MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciAlgebră și Calcule cu Numere RealeDeterminanți
Fie A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} o matrice pătratică de ordin 2 cu elemente reale. Demonstrați că dacă A2=AA^2 = A, atunci fie A=O2A = O_2 (matricea nulă), fie tr(A)=1\text{tr}(A) = 1 și det⁡(A)=0\det(A) = 0. Apoi, pentru matricea B=(3−19−3)B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 9 & -3 \end{pmatrix}, verificați dacă B2=BB^2 = B și determinați toate matricele X=(xyzt)X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} care satisfac BX=XBBX = XB.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scrieți condiția A2=AA^2 = A și obțineți sistemul: a2+bc=aa^2 + bc = a, ab+bd=bab + bd = b, ac+cd=cac + cd = c, bc+d2=dbc + d^2 = d. Deduceți că fie b=c=0b=c=0 și a,d∈{0,1}a,d \in \{0,1\}, fie a+d=1a+d=1 și ad−bc=0ad-bc=0, ceea ce implică tr(A)=1\text{tr}(A)=1 și det⁡(A)=0\det(A)=0.
23 puncte
Pentru BB, calculați B2=(3−19−3)(3−19−3)=(0000)B^2 = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, deci B2≠BB^2 \neq B, verificând direct.
33 puncte
Pentru BX=XBBX = XB, scrieți ecuațiile: 3x−z=3x+9y3x - z = 3x + 9y, 3y−t=−x+3y3y - t = -x + 3y, 9x−3z=3z+9t9x - 3z = 3z + 9t, 9y−3t=−z+3t9y - 3t = -z + 3t. Rezolvați sistemul omogen, obținând X=(xy3yx+2y)X = \begin{pmatrix} x & y \\ 3y & x+2y \end{pmatrix} cu x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.