MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Fie z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 termenii unei progresii geometrice de numere complexe. Dacă z1=1z_1 = 1 și z3=iz_3 = i, determinați toate numerele complexe z2z_2 care satisfac această condiție.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți condiția pentru progresia geometrică: z22=z1⋅z3=1⋅i=iz_2^2 = z_1 \cdot z_3 = 1 \cdot i = i.
23 puncte
Fie z2=x+yiz_2 = x + yi, cu x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}. Atunci (x+yi)2=i(x+yi)^2 = i, deci x2−y2+2xyi=ix^2 - y^2 + 2xyi = i, de unde sistemul: {x2−y2=02xy=1\begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ 2xy = 1 \end{cases}.
33 puncte
Din prima ecuație, x2=y2x^2 = y^2, deci x=yx = y sau x=−yx = -y.
42 puncte
Dacă x=yx = y, din a doua ecuație 2x2=12x^2 = 1, deci x2=12x^2 = \frac{1}{2}, x=±22x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}. Atunci y=xy = x, deci z2=22+i22z_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} sau z2=−22−i22z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}. Dacă x=−yx = -y, din 2x(−x)=12x(-x) = 1, adică −2x2=1-2x^2 = 1, nu are soluții reale. Deci există două soluții pentru z2z_2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.