MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateContinuitateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={ax2+bx+1,x≤0sin⁡(x)+c,x>0f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 1, & x \leq 0 \\ \sin(x) + c, & x > 0 \end{cases}. Determinați constantele reale a,b,ca, b, c astfel încât funcția să fie derivabilă pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru continuitate în x=0x=0, trebuie ca lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0+f(x)=f(0)\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0). lim⁡x→0−f(x)=a⋅02+b⋅0+1=1\lim_{x \to 0^-} f(x) = a\cdot0^2 + b\cdot0 + 1 = 1, lim⁡x→0+f(x)=sin⁡(0)+c=c\lim_{x \to 0^+} f(x) = \sin(0) + c = c, și f(0)=1f(0) = 1. Deci, c=1c = 1.
24 puncte
Pentru derivabilitate în x=0x=0, derivatele laterale trebuie să fie egale. f−′(0)=lim⁡x→0−f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0−ax2+bx+1−1x=lim⁡x→0−(ax+b)=bf'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{ax^2 + bx + 1 - 1}{x} = \lim_{x \to 0^-} (ax + b) = b. f+′(0)=lim⁡x→0+f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0+sin⁡(x)+1−1x=lim⁡x→0+sin⁡(x)x=1f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin(x) + 1 - 1}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin(x)}{x} = 1. Egalând, b=1b = 1.
33 puncte
Constanta aa poate fi orice număr real, deoarece nu afectează derivabilitatea în x=0x=0 (derivata din stânga este bb indiferent de aa), iar funcția este derivabilă pe celelalte intervale. Condițiile finale sunt c=1c = 1, b=1b = 1, și a∈Ra \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.