MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieMatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea M2(R)M_{2}(\mathbb{R}) a matricelor pătratice de ordinul 2 cu elemente reale, se definește operația ∙\bullet prin A∙B=A+B−ABA \bullet B = A + B - AB, unde adunarea și înmulțirea matricelor sunt cele obișnuite. Să se demonstreze că operația ∙\bullet este asociativă și să se determine elementul neutru, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrarea asociativității: Calculăm (A∙B)∙C=(A+B−AB)∙C=(A+B−AB)+C−(A+B−AB)C=A+B+C−AB−AC−BC+ABC(A \bullet B) \bullet C = (A + B - AB) \bullet C = (A + B - AB) + C - (A + B - AB)C = A + B + C - AB - AC - BC + ABC. Apoi, A∙(B∙C)=A∙(B+C−BC)=A+(B+C−BC)−A(B+C−BC)=A+B+C−BC−AB−AC+ABCA \bullet (B \bullet C) = A \bullet (B + C - BC) = A + (B + C - BC) - A(B + C - BC) = A + B + C - BC - AB - AC + ABC. Deoarece ambele expresii sunt egale, operația ∙\bullet este asociativă.
23 puncte
Căutarea elementului neutru EE: Din condiția A∙E=AA \bullet E = A, avem A+E−AE=A  ⟹  E−AE=0  ⟹  E(I−A)=0A + E - AE = A \implies E - AE = 0 \implies E(I - A) = 0, unde II este matricea identitate. Pentru ca această egalitate să fie adevărată pentru orice matrice A∈M2(R)A \in M_{2}(\mathbb{R}), trebuie ca EE să fie matricea nulă 020_{2}. Verificare: A∙02=A+02−A⋅02=AA \bullet 0_{2} = A + 0_{2} - A \cdot 0_{2} = A, deci elementul neutru este matricea nulă 020_{2}.
33 puncte
Observații suplimentare: Operația ∙\bullet este bine definită și, deși are element neutru, nu toate matricele sunt simetrizabile; simetrizarea ar implica rezolvarea ecuațiilor matriceale, dar enunțul se limitează la asociativitate și element neutru.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.