MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere RealeGrupuri
Fie mulțimea A=R∖{−1}A = \mathbb{R} \setminus \{-1\} și operația ⊗\otimes definită pe AA prin x⊗y=x+y1+xyx \otimes y = \frac{x+y}{1+xy} pentru orice x,y∈Ax, y \in A. a) Demonstrați că ⊗\otimes este asociativă. b) Găsiți elementul neutru al lui ⊗\otimes. c) Pentru fiecare x∈Ax \in A, determinați elementul simetric x′x' astfel încât x⊗x′=ex \otimes x' = e, unde ee este elementul neutru.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează (x⊗y)⊗z=x+y1+xy+z1+x+y1+xy⋅z=x+y+z+xyz1+xy+yz+zx(x \otimes y) \otimes z = \frac{\frac{x+y}{1+xy} + z}{1 + \frac{x+y}{1+xy} \cdot z} = \frac{x+y+z+xyz}{1+xy+yz+zx} și x⊗(y⊗z)=x+y+z1+yz1+x⋅y+z1+yz=x+y+z+xyz1+xy+yz+zxx \otimes (y \otimes z) = \frac{x + \frac{y+z}{1+yz}}{1 + x \cdot \frac{y+z}{1+yz}} = \frac{x+y+z+xyz}{1+xy+yz+zx}, deci operația este asociativă.
23 puncte
Pentru elementul neutru ee, din x⊗e=xx \otimes e = x se obține x+e1+xe=x⇒x+e=x+x2e⇒e(1−x2)=0\frac{x+e}{1+xe} = x \Rightarrow x+e = x + x^2 e \Rightarrow e(1-x^2)=0, deci pentru orice xx, e=0e=0 (verificare: x⊗0=xx \otimes 0 = x).
33 puncte
Pentru elementul simetric x′x', din x⊗x′=0x \otimes x' = 0 se obține x+x′1+xx′=0⇒x+x′=0⇒x′=−x\frac{x+x'}{1+xx'} = 0 \Rightarrow x+x'=0 \Rightarrow x' = -x.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.