MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie (an)(a_n) o progresie geometrică cu termeni pozitivi. Dacă a1⋅a4=16a_1 \cdot a_4 = 16 și log⁡2a1+log⁡2a2+log⁡2a3=3\log_2 a_1 + \log_2 a_2 + \log_2 a_3 = 3, determinați rația qq și termenul a5a_5.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Se scrie termenul general al progresiei geometrice: an=a1qn−1a_n = a_1 q^{n-1}.
23 puncte
Din a1⋅a4=16a_1 \cdot a_4 = 16 se obține a12q3=16a_1^2 q^3 = 16. Din log⁡2a1+log⁡2a2+log⁡2a3=3\log_2 a_1 + \log_2 a_2 + \log_2 a_3 = 3 se obține log⁡2(a1a2a3)=3\log_2 (a_1 a_2 a_3) = 3, deci a1a2a3=8a_1 a_2 a_3 = 8, adică a13q3=8a_1^3 q^3 = 8.
32 puncte
Se rezolvă sistemul format: din a13q3=8a_1^3 q^3 = 8 și a12q3=16a_1^2 q^3 = 16, prin împărțire se obține a1=12a_1 = \frac{1}{2}.
41 punct
Se substituie a1=12a_1 = \frac{1}{2} în a12q3=16a_1^2 q^3 = 16, deci (12)2q3=16⇒q3=64⇒q=4\left(\frac{1}{2}\right)^2 q^3 = 16 \Rightarrow q^3 = 64 \Rightarrow q = 4.
51 punct
Se calculează a5=a1q4=12⋅44=128a_5 = a_1 q^4 = \frac{1}{2} \cdot 4^4 = 128.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.