MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateStudiul funcțiilorSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră funcția f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, cu a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R}, a≠0a \neq 0. Știind că ff are un punct de inflexiune în x=1x=1, tangenta la graficul funcției în x=0x=0 este paralelă cu dreapta y=2x+3y=2x+3, f(0)=1f(0)=1, și f(1)=0f(1)=0, determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Condiția de punct de inflexiune: f′′(1)=0f''(1)=0. Calculăm f′′(x)=6ax+2bf''(x)=6ax+2b, deci 6a+2b=0⇒3a+b=06a+2b=0 \Rightarrow 3a+b=0.\n
22 puncte
Condiția tangentei: panta tangentei în x=0x=0 este f′(0)=cf'(0)=c, iar panta dreptei este 22, deci c=2c=2.\n
32 puncte
Din f(0)=1f(0)=1, avem d=1d=1.\n
42 puncte
Din f(1)=0f(1)=0, avem a+b+c+d=0⇒a+b+2+1=0⇒a+b=−3a+b+c+d=0 \Rightarrow a+b+2+1=0 \Rightarrow a+b=-3.\n
52 puncte
Rezolvăm sistemul 3a+b=03a+b=0 și a+b=−3a+b=-3. Scăzând, obținem 2a=3⇒a=322a=3 \Rightarrow a=\frac{3}{2}, apoi b=−3a=−92b=-3a=-\frac{9}{2}. Deci a=32a=\frac{3}{2}, b=−92b=-\frac{9}{2}, c=2c=2, d=1d=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.