MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(1x202111x)A = \begin{pmatrix} 1 & x & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}, unde x∈Rx \in \mathbb{R}. Determinați valorile reale ale lui xx pentru care det⁡(A)=0\det(A) = 0 și rezolvați sistemul liniar omogen A⋅(abc)=(000)A \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} pentru fiecare astfel de valoare a lui xx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați determinantul matricei A: det⁡(A)=1⋅∣211x∣−x⋅∣011x∣+2⋅∣0211∣=(2x−1)−x⋅(−1)+2⋅(−2)=2x−1+x−4=3x−5\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} - x \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (2x - 1) - x \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) = 2x - 1 + x - 4 = 3x - 5.
22 puncte
Rezolvați ecuația det⁡(A)=0\det(A)=0: 3x−5=0⇒x=533x-5=0 \Rightarrow x=\frac{5}{3}.
34 puncte
Pentru x=53x=\frac{5}{3}, matricea A devine A=(15320211153)A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{3} & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & \frac{5}{3} \end{pmatrix}. Sistemul liniar este: {a+53b+2c=02b+c=0a+b+53c=0\begin{cases} a + \frac{5}{3}b + 2c = 0 \\ 2b + c = 0 \\ a + b + \frac{5}{3}c = 0 \end{cases}. Din a doua ecuație, c=−2bc=-2b. Înlocuind în prima și a treia: a+53b−4b=a−73b=0⇒a=73ba + \frac{5}{3}b - 4b = a - \frac{7}{3}b = 0 \Rightarrow a = \frac{7}{3}b, iar a treia dă aceeași ecuație. Soluția este {(73b,b,−2b)∣b∈R}\{ (\frac{7}{3}b, b, -2b) \mid b \in \mathbb{R} \}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.