MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere RealeEcuații iraționale
Pe mulțimea G=(0,∞)G = (0, \infty) se definește operația ∘\circ prin x∘y=x2+y2x \circ y = \sqrt{x^2 + y^2} pentru orice x,y∈Gx, y \in G. a) Verificați dacă operația este asociativă. b) Rezolvați ecuația x∘(x∘2)=5x \circ (x \circ 2) = 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificăm asociativitatea operației. Calculăm (x∘y)∘z(x \circ y) \circ z și x∘(y∘z)x \circ (y \circ z): (x∘y)∘z=(x2+y2)2+z2=x2+y2+z2(x \circ y) \circ z = \sqrt{(\sqrt{x^2 + y^2})^2 + z^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} și x∘(y∘z)=x2+(y2+z2)2=x2+y2+z2x \circ (y \circ z) = \sqrt{x^2 + (\sqrt{y^2 + z^2})^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}. De ambele ori obținem x2+y2+z2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, deci operația este asociativă.
23 puncte
Pentru ecuația x∘(x∘2)=5x \circ (x \circ 2) = 5, calculăm mai întâi x∘2=x2+22=x2+4x \circ 2 = \sqrt{x^2 + 2^2} = \sqrt{x^2 + 4}. Apoi, x∘(x∘2)=x∘x2+4=x2+(x2+4)2=x2+x2+4=2x2+4x \circ (x \circ 2) = x \circ \sqrt{x^2 + 4} = \sqrt{x^2 + (\sqrt{x^2 + 4})^2} = \sqrt{x^2 + x^2 + 4} = \sqrt{2x^2 + 4}.
34 puncte
Ecuația devine 2x2+4=5\sqrt{2x^2 + 4} = 5. Ridicăm la pătrat: 2x2+4=25  ⟹  2x2=21  ⟹  x2=212  ⟹  x=2122x^2 + 4 = 25 \implies 2x^2 = 21 \implies x^2 = \frac{21}{2} \implies x = \sqrt{\frac{21}{2}} deoarece x>0x > 0. Verificăm: x=212x = \sqrt{\frac{21}{2}}, atunci 2⋅212+4=21+4=25=5\sqrt{2 \cdot \frac{21}{2} + 4} = \sqrt{21 + 4} = \sqrt{25} = 5, deci soluția este x=212x = \sqrt{\frac{21}{2}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.