MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciNumere ComplexeInducție matematică
Fie matricea A=(ab−ba)A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Arătați că AA poate fi scrisă sub forma A=aI+bJA = aI + bJ, unde I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} este matricea unitate și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, An=(ℜ((a+bi)n)ℑ((a+bi)n)−ℑ((a+bi)n)ℜ((a+bi)n))A^n = \begin{pmatrix} \Re((a+bi)^n) & \Im((a+bi)^n) \\ -\Im((a+bi)^n) & \Re((a+bi)^n) \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se scrie A=aI+bJA = aI + bJ și se verifică egalitatea prin înmulțire directă: aI+bJ=(a00a)+(0b−b0)=(ab−ba)aI + bJ = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & b \\ -b & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}.
23 puncte
Se enunță ipoteza de inducție: pentru n=kn=k, Ak=(ℜ((a+bi)k)ℑ((a+bi)k)−ℑ((a+bi)k)ℜ((a+bi)k))A^k = \begin{pmatrix} \Re((a+bi)^k) & \Im((a+bi)^k) \\ -\Im((a+bi)^k) & \Re((a+bi)^k) \end{pmatrix}. Se verifică cazul de bază n=1n=1: (a+bi)1=a+bi(a+bi)^1 = a+bi, deci A1=A=(ab−ba)=(ℜ(a+bi)ℑ(a+bi)−ℑ(a+bi)ℜ(a+bi))A^1 = A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Re(a+bi) & \Im(a+bi) \\ -\Im(a+bi) & \Re(a+bi) \end{pmatrix}.
33 puncte
Se demonstrează pasul inductiv: Ak+1=A⋅Ak=(ab−ba)⋅(ℜ((a+bi)k)ℑ((a+bi)k)−ℑ((a+bi)k)ℜ((a+bi)k))A^{k+1} = A \cdot A^k = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \Re((a+bi)^k) & \Im((a+bi)^k) \\ -\Im((a+bi)^k) & \Re((a+bi)^k) \end{pmatrix}. Se calculează produsul și se folosește (a+bi)k+1=(a+bi)(a+bi)k(a+bi)^{k+1} = (a+bi)(a+bi)^k, obținând Ak+1=(ℜ((a+bi)k+1)ℑ((a+bi)k+1)−ℑ((a+bi)k+1)ℜ((a+bi)k+1))A^{k+1} = \begin{pmatrix} \Re((a+bi)^{k+1}) & \Im((a+bi)^{k+1}) \\ -\Im((a+bi)^{k+1}) & \Re((a+bi)^{k+1}) \end{pmatrix}.
42 puncte
Se concluzionează demonstrația prin inducție și se subliniază legătura dintre matricele de forma AA și reprezentarea algebrică a numerelor complexe.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.