MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceSisteme de Ecuații Neliniare
Fie progresia geometrică (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} cu a1,a2,a3a_1, a_2, a_3 termeni pozitivi. Dacă a1+a2+a3=14a_1 + a_2 + a_3 = 14 și a12+a22+a32=84a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 84, determinați primul termen a1a_1 și rația qq.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem relațiile dintre termenii progresiei geometrice: a2=a1qa_2 = a_1 q, a3=a1q2a_3 = a_1 q^2.
23 puncte
Înlocuim în suma termenilor: a1+a1q+a1q2=14a_1 + a_1 q + a_1 q^2 = 14, deci a1(1+q+q2)=14a_1(1+q+q^2)=14.
33 puncte
Înlocuim în suma pătratelor termenilor: a12+a12q2+a12q4=84a_1^2 + a_1^2 q^2 + a_1^2 q^4 = 84, deci a12(1+q2+q4)=84a_1^2(1+q^2+q^4)=84.
42 puncte
Rezolvăm sistemul. Din prima ecuație, a1=141+q+q2a_1 = \frac{14}{1+q+q^2}. Înlocuim în a doua: (141+q+q2)2(1+q2+q4)=84\left(\frac{14}{1+q+q^2}\right)^2 (1+q^2+q^4)=84. Simplificăm: 196(1+q2+q4)(1+q+q2)2=84\frac{196(1+q^2+q^4)}{(1+q+q^2)^2}=84, de unde 1+q2+q4(1+q+q2)2=37\frac{1+q^2+q^4}{(1+q+q^2)^2}=\frac{3}{7}. Observăm că 1+q2+q4=(1+q+q2)(1−q+q2)1+q^2+q^4 = (1+q+q^2)(1-q+q^2), așadar 1−q+q21+q+q2=37\frac{1-q+q^2}{1+q+q^2}=\frac{3}{7}. Rezolvăm: 7(1−q+q2)=3(1+q+q2)⇒4q2−10q+4=0⇒2q2−5q+2=0⇒q=27(1-q+q^2)=3(1+q+q^2) \Rightarrow 4q^2 -10q +4=0 \Rightarrow 2q^2-5q+2=0 \Rightarrow q=2 sau q=12q=\frac{1}{2}. Pentru q=2q=2, a1=2a_1=2; pentru q=12q=\frac{1}{2}, a1=8a_1=8. Ambele soluții verifică condițiile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.