MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieEcuații logaritmice
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: log⁡12(sin⁡x)+log⁡12(cos⁡x)=2\log_{\frac{1}{2}}(\sin x) + \log_{\frac{1}{2}}(\cos x) = 2, pentru x∈(0,π)x \in (0, \pi).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Stabilirea condițiilor de existență: sin⁡x>0\sin x > 0 și cos⁡x>0\cos x > 0, deci x∈(0,π2)x \in (0, \frac{\pi}{2});
22 puncte
Aplicarea proprietății logaritmilor: log⁡12(sin⁡xcos⁡x)=2\log_{\frac{1}{2}}(\sin x \cos x) = 2;
32 puncte
Trecerea la forma exponențială: sin⁡xcos⁡x=(12)2=14\sin x \cos x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4};
42 puncte
Utilizarea identității sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x, obținând 12sin⁡2x=14\frac{1}{2} \sin 2x = \frac{1}{4}, deci sin⁡2x=12\sin 2x = \frac{1}{2};
52 puncte
Rezolvarea ecuației sin⁡2x=12\sin 2x = \frac{1}{2} pe intervalul x∈(0,π2)x \in (0, \frac{\pi}{2}) (deci 2x∈(0,π)2x \in (0, \pi)): 2x=π62x = \frac{\pi}{6} sau 2x=5π62x = \frac{5\pi}{6}, deci x=π12x = \frac{\pi}{12} sau x=5π12x = \frac{5\pi}{12}. Ambele soluții sunt în intervalul (0,π2)(0, \frac{\pi}{2}), deci sunt acceptate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.