MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Fie z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 termenii consecutivi ai unei progresii geometrice de numere complexe cu rația qq. Dacă z1=2+2iz_1 = 2 + 2i, ∣z2∣=4|z_2| = 4, și argumentul lui z3z_3 este π2\frac{\pi}{2}, determinați z2,z3z_2, z_3 și qq.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Scriem relațiile dintre termeni: z2=z1qz_2 = z_1 q și z3=z1q2z_3 = z_1 q^2.
23 puncte
Exprimăm condițiile: ∣z2∣=∣z1∣∣q∣=4|z_2| = |z_1| |q| = 4, deci ∣q∣=4∣z1∣|q| = \frac{4}{|z_1|}, și arg⁡(z3)=arg⁡(z1)+2arg⁡(q)=π2\arg(z_3) = \arg(z_1) + 2\arg(q) = \frac{\pi}{2}.
35 puncte
Calculăm ∣z1∣=22|z_1| = 2\sqrt{2} și arg⁡(z1)=π4\arg(z_1) = \frac{\pi}{4} din z1=2+2iz_1 = 2+2i. Atunci ∣q∣=422=2|q| = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2}. Din arg⁡(z3)=π2\arg(z_3) = \frac{\pi}{2}, obținem π4+2arg⁡(q)=π2\frac{\pi}{4} + 2\arg(q) = \frac{\pi}{2}, deci arg⁡(q)=π8\arg(q) = \frac{\pi}{8}. Astfel, q=2(cos⁡π8+isin⁡π8)q = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8} \right). Apoi, z2=z1q=(2+2i)⋅2(cos⁡π8+isin⁡π8)=4(cos⁡3π8+isin⁡3π8)z_2 = z_1 q = (2+2i) \cdot \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8} \right) = 4 \left( \cos\frac{3\pi}{8} + i\sin\frac{3\pi}{8} \right) și z3=z1q2=(2+2i)⋅2(cos⁡π4+isin⁡π4)=42iz_3 = z_1 q^2 = (2+2i) \cdot 2 \left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right) = 4\sqrt{2} i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.