MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Să se determine aria regiunii mărginite de graficul funcției f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3, axa Ox și dreptele x=0x = 0 și x=4x = 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se rezolvă ecuația f(x)=0f(x) = 0: x2−4x+3=0⇒x=1x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x = 1 și x=3x = 3.
23 puncte
Se analizează semnul funcției: pe [0,1][0,1], f(x)≥0f(x) \geq 0; pe [1,3][1,3], f(x)≤0f(x) \leq 0; pe [3,4][3,4], f(x)≥0f(x) \geq 0.
33 puncte
Aria este dată de ∫04∣f(x)∣ dx=∫01f(x) dx−∫13f(x) dx+∫34f(x) dx\int_{0}^{4} |f(x)| \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{4} f(x) \, dx.
42 puncte
Se calculează ∫f(x) dx=x33−2x2+3x+C\int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x + C. Evaluând: ∫01f(x) dx=(13−2+3)−0=43\int_{0}^{1} f(x) \, dx = \left( \frac{1}{3} - 2 + 3 \right) - 0 = \frac{4}{3}, ∫13f(x) dx=(9−18+9)−(13−2+3)=0−43=−43\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \left( 9 - 18 + 9 \right) - \left( \frac{1}{3} - 2 + 3 \right) = 0 - \frac{4}{3} = -\frac{4}{3}, ∫34f(x) dx=(643−32+12)−(9−18+9)=43−0=43\int_{3}^{4} f(x) \, dx = \left( \frac{64}{3} - 32 + 12 \right) - \left( 9 - 18 + 9 \right) = \frac{4}{3} - 0 = \frac{4}{3}. Deci aria =43−(−43)+43=43+43+43=4= \frac{4}{3} - (-\frac{4}{3}) + \frac{4}{3} = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.