MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră sistemul de ecuații liniare {(m+1)x+y+z=1x+(m+1)y+z=mx+y+(m+1)z=m2\begin{cases} (m+1)x + y + z = 1 \\ x + (m+1)y + z = m \\ x + y + (m+1)z = m^2 \end{cases}, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. Discutați, în funcție de mm, compatibilitatea sistemului folosind metoda matricelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți sistemul sub formă matricială AX=BAX = B, cu A=(m+1111m+1111m+1)A = \begin{pmatrix} m+1 & 1 & 1 \\ 1 & m+1 & 1 \\ 1 & 1 & m+1 \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, B=(1mm2)B = \begin{pmatrix} 1 \\ m \\ m^2 \end{pmatrix}.
23 puncte
Calculați determinantul matricei AA: det⁡(A)=(m+1)3+1+1−(m+1)−(m+1)−(m+1)=m3+3m2=m2(m+3)\det(A) = (m+1)^3 + 1 + 1 - (m+1) - (m+1) - (m+1) = m^3 + 3m^2 = m^2(m+3).
33 puncte
Discutați: Dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, adică m≠0m \neq 0 și m≠−3m \neq -3, atunci sistemul este compatibil determinat și soluția este dată de X=A−1BX = A^{-1}B. Dacă det⁡(A)=0\det(A) = 0, adică m=0m=0 sau m=−3m=-3, se studiază rangul matricei coeficienților și al matricei extinse.
42 puncte
Pentru m=0m=0, sistemul devine {x+y+z=1x+y+z=0x+y+z=0\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 0 \\ x + y + z = 0 \end{cases}, care este incompatibil deoarece ecuațiile sunt contradictorii. Pentru m=−3m=-3, sistemul devine {−2x+y+z=1x−2y+z=−3x+y−2z=9\begin{cases} -2x + y + z = 1 \\ x - 2y + z = -3 \\ x + y - 2z = 9 \end{cases}; se verifică că rangul matricei coeficienților este 2 și rangul matricei extinse este 2, deci sistemul este compatibil nedeterminat; soluțiile pot fi exprimate în funcție de o necunoscută liberă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.