MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeProgresii Geometrice
Fie șirul de numere complexe (zn)n≥1(z_n)_{n \geq 1} definit prin z1=1+iz_1 = 1+i și zn+1=(2−i)znz_{n+1} = (2-i)z_n pentru orice n≥1n \geq 1. Să se calculeze suma S=z1+z2+⋯+z10S = z_1 + z_2 + \dots + z_{10}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Observăm că șirul (zn)(z_n) este o progresie geometrică cu rația q=2−iq = 2-i și primul termen z1=1+iz_1 = 1+i.
24 puncte
Aplicăm formula sumei primilor nn termeni ai unei progresii geometrice: Sn=z11−qn1−qS_n = z_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}, pentru q≠1q \neq 1. Pentru n=10n=10, avem S10=(1+i)1−(2−i)101−(2−i)S_{10} = (1+i) \frac{1 - (2-i)^{10}}{1 - (2-i)}.
34 puncte
Calculăm (2−i)10(2-i)^{10} folosind forma trigonometrică. Mai întâi, ∣2−i∣=22+(−1)2=5|2-i| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}, iar un argument este θ=arctan⁡(−12)\theta = \arctan\left(-\frac{1}{2}\right) (se poate lua în considerare cadranul). Atunci (2−i)10=(5)10(cos⁡(10θ)+isin⁡(10θ))=55(cos⁡(10θ)+isin⁡(10θ))=3125(cos⁡(10θ)+isin⁡(10θ))(2-i)^{10} = (\sqrt{5})^{10} (\cos(10\theta) + i \sin(10\theta)) = 5^5 (\cos(10\theta) + i \sin(10\theta)) = 3125 (\cos(10\theta) + i \sin(10\theta)). Folosind identități trigonometrice sau calcul direct, se obține cos⁡(10θ)=−2373125\cos(10\theta) = -\frac{237}{3125} și sin⁡(10θ)=−31163125\sin(10\theta) = -\frac{3116}{3125} (valori exacte din formule), deci (2−i)10=−237−3116i(2-i)^{10} = -237 - 3116i. Apoi, calculăm S10=(1+i)1−(−237−3116i)1−(2−i)=(1+i)238+3116i−1+iS_{10} = (1+i) \frac{1 - (-237 - 3116i)}{1 - (2-i)} = (1+i) \frac{238 + 3116i}{-1 + i}. Simplificăm fracția: 238+3116i−1+i=(238+3116i)(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−238−238i−3116i−3116i21+1=−238−3354i+31162=2878−3354i2=1439−1677i\frac{238 + 3116i}{-1 + i} = \frac{(238 + 3116i)(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} = \frac{-238 - 238i - 3116i - 3116i^2}{1 + 1} = \frac{-238 - 3354i + 3116}{2} = \frac{2878 - 3354i}{2} = 1439 - 1677i. În final, S10=(1+i)(1439−1677i)=1439−1677i+1439i−1677i2=1439−1677i+1439i+1677=3116−238iS_{10} = (1+i)(1439 - 1677i) = 1439 - 1677i + 1439i - 1677i^2 = 1439 - 1677i + 1439i + 1677 = 3116 - 238i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.