MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Fie progresia geometrică (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} cu a1=1+ia_1 = 1 + i și rația q=12−32iq = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i. Calculați a5a_5 și suma primilor 10 termeni ai progresiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem formulele termenului general și sumei finite pentru o progresie geometrică: an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1} și Sn=a11−qn1−qS_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q} pentru q≠1q \neq 1.
23 puncte
Observăm că q=cos⁡(−π3)+isin⁡(−π3)=e−iπ3q = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = e^{-i\frac{\pi}{3}}. Aplicând formula lui De Moivre, calculăm q4=e−i4π3q^4 = e^{-i\frac{4\pi}{3}} și q10=e−i10π3=e−i4π3q^{10} = e^{-i\frac{10\pi}{3}} = e^{-i\frac{4\pi}{3}} (reducerea la unghiul principal).
32 puncte
Calculăm a5=a1⋅q4=(1+i)⋅e−i4π3a_5 = a_1 \cdot q^4 = (1+i) \cdot e^{-i\frac{4\pi}{3}}. Exprimăm 1+i=2eiπ41+i = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}, deci a5=2ei(π4−4π3)=2e−i13π12a_5 = \sqrt{2} e^{i\left(\frac{\pi}{4} - \frac{4\pi}{3}\right)} = \sqrt{2} e^{-i\frac{13\pi}{12}}.
43 puncte
Calculăm S10=a11−q101−q=(1+i)1−e−i4π31−e−iπ3S_{10} = a_1 \frac{1-q^{10}}{1-q} = (1+i) \frac{1 - e^{-i\frac{4\pi}{3}}}{1 - e^{-i\frac{\pi}{3}}}. Simplificăm expresia folosind identități trigonometrice: 1−e−iθ=2isin⁡(θ2)e−iθ21 - e^{-i\theta} = 2i \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{-i\frac{\theta}{2}}. Astfel, S10=(1+i)2isin⁡(2π3)e−i2π32isin⁡(π6)e−iπ6=(1+i)sin⁡(2π3)sin⁡(π6)e−i(2π3−π6)=(1+i)⋅3212⋅e−iπ2=(1+i)⋅3⋅(−i)=−i3(1+i)=3−i3S_{10} = (1+i) \frac{2i \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) e^{-i\frac{2\pi}{3}}}{2i \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) e^{-i\frac{\pi}{6}}} = (1+i) \frac{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)} e^{-i\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6}\right)} = (1+i) \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} \cdot e^{-i\frac{\pi}{2}} = (1+i) \cdot \sqrt{3} \cdot (-i) = -i\sqrt{3}(1+i) = \sqrt{3} - i\sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.