MediuProgresii GeometriceClasa 11

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Numerele complexe z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 sunt în progresie geometrică cu rația q∈Cq \in \mathbb{C}. Dacă z1=2−2iz_1 = 2 - 2i și z3=−8+8iz_3 = -8 + 8i, determinați z2z_2 și rația qq. Calculați suma primilor 5 termeni ai progresiei și studiați convergența șirului modulelor termenilor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Deoarece z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 sunt în progresie geometrică, avem z2=z1⋅qz_2 = z_1 \cdot q și z3=z1⋅q2z_3 = z_1 \cdot q^2. Din z3=z1⋅q2z_3 = z_1 \cdot q^2, obținem q2=z3/z1=(−8+8i)/(2−2i)q^2 = z_3 / z_1 = (-8 + 8i) / (2 - 2i). Simplificăm: q2=−8+8i2−2i=8(−1+i)2(1−i)=4(−1+i)1−iq^2 = \frac{-8 + 8i}{2 - 2i} = \frac{8(-1 + i)}{2(1 - i)} = \frac{4(-1 + i)}{1 - i}. Calculăm −1+i1−i=(−1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=−1−i+i+i22=−22=−1\frac{-1 + i}{1 - i} = \frac{(-1 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{-1 - i + i + i^2}{2} = \frac{-2}{2} = -1, deci q2=4⋅(−1)=−4q^2 = 4 \cdot (-1) = -4, atunci q=±2iq = \pm 2i.
22 puncte
Pentru q=2iq = 2i, z2=z1⋅q=(2−2i)⋅2i=4i−4i2=4i+4=4+4iz_2 = z_1 \cdot q = (2 - 2i) \cdot 2i = 4i - 4i^2 = 4i + 4 = 4 + 4i. Pentru q=−2iq = -2i, z2=(2−2i)⋅(−2i)=−4i+4i2=−4i−4=−4−4iz_2 = (2 - 2i) \cdot (-2i) = -4i + 4i^2 = -4i - 4 = -4 - 4i.
32 puncte
Calculăm suma primilor 5 termeni pentru q=2iq = 2i: S5=z1q5−1q−1=(2−2i)(2i)5−12i−1=(2−2i)32i−12i−1S_5 = z_1 \frac{q^5 - 1}{q - 1} = (2 - 2i) \frac{(2i)^5 - 1}{2i - 1} = (2 - 2i) \frac{32i - 1}{2i - 1}. Se poate simplifica sau lăsa în această formă.
42 puncte
Studiem convergența șirului modulelor: modulul termenului general ∣zn∣=∣z1∣⋅∣q∣n−1|z_n| = |z_1| \cdot |q|^{n-1}. Pentru q=2iq = 2i sau q=−2iq = -2i, ∣q∣=2>1|q| = 2 > 1, deci șirul ∣zn∣|z_n| este divergent (crescător nemărginit).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.