MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră mulțimea M={(x,y)∣x,y∈R}M = \{ (x,y) \mid x, y \in \mathbb{R} \} și legea de compoziție ∘\circ definită prin (x1,y1)∘(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2+x1x2)(x_1, y_1) \circ (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2 + x_1 x_2). a) Verificați dacă legea ∘\circ este asociativă. b) Determinați elementul neutru al legii ∘\circ. c) Pentru un element (a,b)∈M(a,b) \in M, determinați condițiile în care este simetrizabil și găsiți simetricul său, dacă există. d) Rezolvați în MM ecuația (x,y)∘(1,2)=(3,5)(x,y) \circ (1,2) = (3,5).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm asociativitatea: Fie (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)∈M(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) \in M. Atunci ((x1,y1)∘(x2,y2))∘(x3,y3)=(x1+x2,y1+y2+x1x2)∘(x3,y3)=(x1+x2+x3,(y1+y2+x1x2)+y3+(x1+x2)x3)=(x1+x2+x3,y1+y2+y3+x1x2+x1x3+x2x3)((x_1, y_1) \circ (x_2, y_2)) \circ (x_3, y_3) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2 + x_1 x_2) \circ (x_3, y_3) = (x_1 + x_2 + x_3, (y_1 + y_2 + x_1 x_2) + y_3 + (x_1 + x_2)x_3) = (x_1 + x_2 + x_3, y_1 + y_2 + y_3 + x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3). Pe de altă parte, (x1,y1)∘((x2,y2)∘(x3,y3))=(x1,y1)∘(x2+x3,y2+y3+x2x3)=(x1+x2+x3,y1+(y2+y3+x2x3)+x1(x2+x3))=(x1+x2+x3,y1+y2+y3+x2x3+x1x2+x1x3)(x_1, y_1) \circ ((x_2, y_2) \circ (x_3, y_3)) = (x_1, y_1) \circ (x_2 + x_3, y_2 + y_3 + x_2 x_3) = (x_1 + x_2 + x_3, y_1 + (y_2 + y_3 + x_2 x_3) + x_1 (x_2 + x_3)) = (x_1 + x_2 + x_3, y_1 + y_2 + y_3 + x_2 x_3 + x_1 x_2 + x_1 x_3). Cele două expresii sunt egale, deci legea este asociativă.
22 puncte
Căutăm (e1,e2)(e_1, e_2) astfel încât (x,y)∘(e1,e2)=(x,y)(x,y) \circ (e_1, e_2) = (x,y) pentru orice (x,y)(x,y). (x,y)∘(e1,e2)=(x+e1,y+e2+xe1)=(x,y)(x,y) \circ (e_1, e_2) = (x + e_1, y + e_2 + x e_1) = (x,y). Deci x+e1=x⇒e1=0x + e_1 = x \Rightarrow e_1 = 0 și y+e2+x⋅0=y⇒e2=0y + e_2 + x \cdot 0 = y \Rightarrow e_2 = 0. Verificăm: (0,0)(0,0) este elementul neutru.
33 puncte
Pentru (a,b)∈M(a,b) \in M, căutăm (a′,b′)(a', b') astfel încât (a,b)∘(a′,b′)=(0,0)(a,b) \circ (a', b') = (0,0). (a,b)∘(a′,b′)=(a+a′,b+b′+aa′)=(0,0)(a,b) \circ (a', b') = (a + a', b + b' + a a') = (0,0). Deci a+a′=0⇒a′=−aa + a' = 0 \Rightarrow a' = -a și b+b′+a(−a)=b+b′−a2=0⇒b′=a2−bb + b' + a(-a) = b + b' - a^2 = 0 \Rightarrow b' = a^2 - b. Condiția este că pentru orice (a,b)(a,b), simetricul există și este (−a,a2−b)( -a, a^2 - b).
42 puncte
Rezolvăm (x,y)∘(1,2)=(3,5)(x,y) \circ (1,2) = (3,5). (x,y)∘(1,2)=(x+1,y+2+x⋅1)=(x+1,y+2+x)(x,y) \circ (1,2) = (x + 1, y + 2 + x \cdot 1) = (x+1, y+2+x). Punem egal cu (3,5)(3,5): {x+1=3y+2+x=5\begin{cases} x+1 = 3 \\ y+2+x = 5 \end{cases}. Din prima ecuație x=2x=2, înlocuim în a doua: y+2+2=5⇒y=1y+2+2=5 \Rightarrow y=1. Soluția este (2,1)(2,1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.