MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați trei numere în progresie geometrică, știind că suma lor este 14 și suma pătratelor lor este 84.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm numerele a,aq,aq2a, aq, aq^2, unde aa este primul termen și qq rația progresiei.
23 puncte
Scriem ecuațiile din enunț: a(1+q+q2)=14a(1+q+q^2) = 14 și a2(1+q2+q4)=84a^2(1+q^2+q^4) = 84.
33 puncte
Observăm că 1+q2+q4=(1+q+q2)(1−q+q2)1+q^2+q^4 = (1+q+q^2)(1-q+q^2). Împărțind a doua ecuație la prima, obținem a(1−q+q2)=6a(1-q+q^2) = 6.
42 puncte
Rezolvăm sistemul: a(1+q+q2)=14a(1+q+q^2) = 14 și a(1−q+q2)=6a(1-q+q^2) = 6. Adunând și scăzând aceste ecuații, găsim aq=4aq = 4 și a(1+q2)=10a(1+q^2) = 10. Din aq=4aq=4, exprimăm q=4/aq=4/a, și înlocuim în a(1+q2)=10a(1+q^2)=10 pentru a obține ecuația a2−10a+16=0a^2 -10a+16=0. Soluțiile sunt a=2a=2 sau a=8a=8, cu q=2q=2 sau q=1/2q=1/2. Numerele sunt 2,4,82,4,8 sau 8,4,28,4,2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.