MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciVectoriGeometrie Analitică
Considerați matricea M=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)M = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}, care reprezintă o rotație de unghi θ\theta în plan. Fie vectorii u⃗=2i⃗+3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} + 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. Aflați θ\theta astfel încât M⋅u⃗=v⃗M \cdot \vec{u} = \vec{v}, unde u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} sunt scrise ca vectori coloană. Verificați dacă MM este ortogonală și calculați M−1M^{-1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scrie u⃗=(23)\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, v⃗=(−14)\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}. Ecuația M⋅u⃗=v⃗M \cdot \vec{u} = \vec{v} devine (cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)⋅(23)=(−14)\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}, adică {2cos⁡θ−3sin⁡θ=−12sin⁡θ+3cos⁡θ=4\begin{cases} 2\cos \theta - 3\sin \theta = -1 \\ 2\sin \theta + 3\cos \theta = 4 \end{cases}. Rezolvând sistemul, de exemplu prin eliminare, se obține cos⁡θ=513\cos \theta = \frac{5}{13}, sin⁡θ=1213\sin \theta = \frac{12}{13}, deci θ=arctan⁡(125)\theta = \arctan\left(\frac{12}{5}\right) sau alt unghi corespunzător.
23 puncte
Verifică ortogonalitatea: M⋅MT=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)⋅(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)=(cos⁡2θ+sin⁡2θ00sin⁡2θ+cos⁡2θ)=(1001)M \cdot M^T = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos^2 \theta + \sin^2 \theta & 0 \\ 0 & \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, deci MM este ortogonală.
33 puncte
M−1=MT=(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)M^{-1} = M^T = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}, sau se poate calcula direct M−1=1det⁡(M)⋅adj(M)M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \cdot \text{adj}(M), cu det⁡(M)=1\det(M) = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.