MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumePrimitive
Calculați integrala definită ∫01xex dx\int_{0}^{1} x e^{x} \, dx și determinați aria mărginită de graficul funcției f(x)=xexf(x) = x e^{x}, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Aflați primitiva funcției f(x)=xexf(x) = x e^{x} folosind integrarea prin părți: ∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex+C\int x e^{x} \, dx = x e^{x} - \int e^{x} \, dx = x e^{x} - e^{x} + C.
23 puncte
Calculați valoarea integralei: ∫01xex dx=[xex−ex]01=(1⋅e1−e1)−(0⋅e0−e0)=e−e−(0−1)=1\int_{0}^{1} x e^{x} \, dx = [x e^{x} - e^{x}]_{0}^{1} = (1 \cdot e^{1} - e^{1}) - (0 \cdot e^{0} - e^{0}) = e - e - (0 - 1) = 1.
33 puncte
Interpretați rezultatul ca arie: aria este ∫01∣f(x)∣ dx=∫01xex dx=1\int_{0}^{1} |f(x)| \, dx = \int_{0}^{1} x e^{x} \, dx = 1, deoarece f(x)≥0f(x) \geq 0 pe [0,1][0,1]. Verificați folosind proprietatea că integrala unei funcții pozitive este egală cu aria.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.