MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieIdentități algebrice
Să se demonstreze identitatea trigonometrică sin⁡4x+cos⁡4x=1−12sin⁡22x\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei sin⁡4x+cos⁡4x\sin^4 x + \cos^4 x știind că sin⁡x+cos⁡x=32\sin x + \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Demonstrarea identității. Se scrie sin⁡4x+cos⁡4x=(sin⁡2x+cos⁡2x)2−2sin⁡2xcos⁡2x=1−2sin⁡2xcos⁡2x\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x. Dar sin⁡2xcos⁡2x=14sin⁡22x\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2 2x, deci sin⁡4x+cos⁡4x=1−12sin⁡22x\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x.
25 puncte
Calculul valorii. Din sin⁡x+cos⁡x=32\sin x + \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, se pătratează: (sin⁡x+cos⁡x)2=34⇒sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=34⇒1+sin⁡2x=34⇒sin⁡2x=−14(\sin x + \cos x)^2 = \frac{3}{4} \Rightarrow \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = \frac{3}{4} \Rightarrow 1 + \sin 2x = \frac{3}{4} \Rightarrow \sin 2x = -\frac{1}{4}. Atunci, din identitate, sin⁡4x+cos⁡4x=1−12(−14)2=1−12⋅116=1−132=3132\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} = 1 - \frac{1}{32} = \frac{31}{32}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.