MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeTrigonometrieInducție matematică
Demonstrați că pentru orice număr natural nn și orice heta∈R heta \in \mathbb{R}, are loc egalitatea (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) folosind metoda inducției matematice.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificarea pentru n=1n=1: (cos⁡θ+isin⁡θ)1=cos⁡θ+isin⁡θ=cos⁡(1⋅θ)+isin⁡(1⋅θ)(\cos \theta + i \sin \theta)^1 = \cos \theta + i \sin \theta = \cos(1\cdot\theta) + i \sin(1\cdot\theta).\n
23 puncte
Presupunerea inductivă: pentru un k∈N∗k \in \mathbb{N}^*, (cos⁡θ+isin⁡θ)k=cos⁡(kθ)+isin⁡(kθ)(\cos \theta + i \sin \theta)^k = \cos(k\theta) + i \sin(k\theta).\n
35 puncte
Demonstrația pentru n=k+1n=k+1: (cos⁡θ+isin⁡θ)k+1=(cos⁡θ+isin⁡θ)k⋅(cos⁡θ+isin⁡θ)=[cos⁡(kθ)+isin⁡(kθ)]⋅(cos⁡θ+isin⁡θ)=cos⁡(kθ)cos⁡θ−sin⁡(kθ)sin⁡θ+i[sin⁡(kθ)cos⁡θ+cos⁡(kθ)sin⁡θ]=cos⁡((k+1)θ)+isin⁡((k+1)θ)(\cos \theta + i \sin \theta)^{k+1} = (\cos \theta + i \sin \theta)^k \cdot (\cos \theta + i \sin \theta) = [\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)] \cdot (\cos \theta + i \sin \theta) = \cos(k\theta)\cos \theta - \sin(k\theta)\sin \theta + i[\sin(k\theta)\cos \theta + \cos(k\theta)\sin \theta] = \cos((k+1)\theta) + i \sin((k+1)\theta), folosind formulele trigonometrice pentru cosinus și sinus ale sumei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.