MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieNumere Complexe
Se consideră numărul complex z=1+itan⁡α1−itan⁡αz = \frac{1 + i \tan \alpha}{1 - i \tan \alpha}, cu α∈(0,π2)\alpha \in (0, \frac{\pi}{2}). a) Scrieți zz în formă trigonometrică și determinați modulul și argumentul său. b) Pentru α=π8\alpha = \frac{\pi}{8}, calculați z10z^{10}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Simplificăm expresia lui zz folosind identități trigonometrice: tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, deci z=1+isin⁡αcos⁡α1−isin⁡αcos⁡α=cos⁡α+isin⁡αcos⁡α−isin⁡αz = \frac{1 + i \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 - i \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\cos \alpha + i \sin \alpha}{\cos \alpha - i \sin \alpha}. Înmulțim numărătorul și numitorul cu conjugatul numitorului: z=(cos⁡α+isin⁡α)2cos⁡2α+sin⁡2α=(cos⁡α+isin⁡α)2=cos⁡2α+isin⁡2αz = \frac{(\cos \alpha + i \sin \alpha)^2}{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha} = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^2 = \cos 2\alpha + i \sin 2\alpha.
22 puncte
Forma trigonometrică este z=cos⁡2α+isin⁡2αz = \cos 2\alpha + i \sin 2\alpha, deci modulul este ∣z∣=1|z| = 1 și argumentul este arg⁡(z)=2α\arg(z) = 2\alpha.
32 puncte
Pentru α=π8\alpha = \frac{\pi}{8}, avem z=cos⁡π4+isin⁡π4z = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}.
43 puncte
Calculăm z10z^{10} folosind formula lui De Moivre: z10=cos⁡(10⋅π4)+isin⁡(10⋅π4)=cos⁡10π4+isin⁡10π4=cos⁡5π2+isin⁡5π2=cos⁡π2+isin⁡π2=iz^{10} = \cos(10 \cdot \frac{\pi}{4}) + i \sin(10 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{10\pi}{4} + i \sin \frac{10\pi}{4} = \cos \frac{5\pi}{2} + i \sin \frac{5\pi}{2} = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.