MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciVectoriTrigonometrie
Fie matricea de rotație R(θ)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}, cu θ∈R\theta \in \mathbb{R}, și vectorii v⃗=(10)\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, w⃗=(01)\vec{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. a) Calculați R(θ)v⃗R(\theta) \vec{v} și R(θ)w⃗R(\theta) \vec{w}. b) Demonstrați că R(θ)R(ϕ)=R(θ+ϕ)R(\theta) R(\phi) = R(\theta + \phi) pentru orice θ,ϕ∈R\theta, \phi \in \mathbb{R}. c) Determinați valorile lui θ\theta pentru care matricea R(θ)R(\theta) are valori proprii reale și găsiți vectorii proprii corespunzători.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru partea a, calculăm: R(θ)v⃗=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)(10)=(cos⁡θsin⁡θ)R(\theta) \vec{v} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix} și R(θ)w⃗=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)(01)=(−sin⁡θcos⁡θ)R(\theta) \vec{w} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \end{pmatrix}.
24 puncte
Pentru partea b, considerăm R(θ)R(ϕ)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)(cos⁡ϕ−sin⁡ϕsin⁡ϕcos⁡ϕ)=(cos⁡θcos⁡ϕ−sin⁡θsin⁡ϕ−cos⁡θsin⁡ϕ−sin⁡θcos⁡ϕsin⁡θcos⁡ϕ+cos⁡θsin⁡ϕ−sin⁡θsin⁡ϕ+cos⁡θcos⁡ϕ)=(cos⁡(θ+ϕ)−sin⁡(θ+ϕ)sin⁡(θ+ϕ)cos⁡(θ+ϕ))=R(θ+ϕ)R(\theta) R(\phi) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta \cos\phi - \sin\theta \sin\phi & -\cos\theta \sin\phi - \sin\theta \cos\phi \\ \sin\theta \cos\phi + \cos\theta \sin\phi & -\sin\theta \sin\phi + \cos\theta \cos\phi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta+\phi) & -\sin(\theta+\phi) \\ \sin(\theta+\phi) & \cos(\theta+\phi) \end{pmatrix} = R(\theta+\phi), folosind identitățile trigonometrice pentru cosinus și sinus ale sumei.
33 puncte
Pentru partea c, valorile proprii ale lui R(θ)R(\theta) se obțin din ecuația caracteristică det⁡(R(θ)−λI)=0\det(R(\theta) - \lambda I) = 0. det⁡(cos⁡θ−λ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ−λ)=(cos⁡θ−λ)2+sin⁡2θ=λ2−2λcos⁡θ+1=0\det \begin{pmatrix} \cos\theta - \lambda & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta - \lambda \end{pmatrix} = (\cos\theta - \lambda)^2 + \sin^2\theta = \lambda^2 - 2\lambda \cos\theta + 1 = 0. Discriminantul este Δ=4cos⁡2θ−4=4(cos⁡2θ−1)=−4sin⁡2θ≤0\Delta = 4\cos^2\theta - 4 = 4(\cos^2\theta - 1) = -4\sin^2\theta \leq 0. Valorile proprii sunt reale dacă și numai dacă Δ≥0\Delta \geq 0, adică sin⁡2θ=0\sin^2\theta = 0, deci θ=kπ\theta = k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}. Pentru θ=kπ\theta = k\pi, R(kπ)=(cos⁡(kπ)−sin⁡(kπ)sin⁡(kπ)cos⁡(kπ))=((−1)k00(−1)k)R(k\pi) = \begin{pmatrix} \cos(k\pi) & -\sin(k\pi) \\ \sin(k\pi) & \cos(k\pi) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)^k & 0 \\ 0 & (-1)^k \end{pmatrix}. Valorile proprii sunt λ=(−1)k\lambda = (-1)^k, iar vectorii proprii sunt orice vectori nenuli; de exemplu, pentru kk par, λ=1\lambda=1, vectori proprii pe axele coordonatelor.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.