MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieNumere ComplexeGeometrie Analitică
Să se rezolve în mulțimea numerelor complexe ecuația z3=8(cos⁡120∘+isin⁡120∘)z^3 = 8(\cos 120^\circ + i \sin 120^\circ) și să se reprezinte soluțiile în planul complex, apoi să se calculeze sin⁡(arg⁡z1+arg⁡z22)\sin\left(\frac{\arg z_1 + \arg z_2}{2}\right) unde z1z_1 și z2z_2 sunt două soluții distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se scrie numărul din partea dreaptă în forma trigonometrică: 8(cos⁡120∘+isin⁡120∘)=8cis120∘8(\cos 120^\circ + i \sin 120^\circ) = 8 \text{cis} 120^\circ. Atunci soluțiile sunt zk=83cis120∘+360∘k3z_k = \sqrt[3]{8} \text{cis} \frac{120^\circ + 360^\circ k}{3}, pentru k=0,1,2k=0,1,2.
23 puncte
Se calculează: z0=2cis40∘z_0 = 2 \text{cis} 40^\circ, z1=2cis160∘z_1 = 2 \text{cis} 160^\circ, z2=2cis280∘z_2 = 2 \text{cis} 280^\circ. Reprezentarea în plan: puncte pe cercul de rază 2, la unghiurile 40∘40^\circ, 160∘160^\circ, 280∘280^\circ.
32 puncte
Se aleg două soluții, de exemplu z1z_1 și z2z_2: arg⁡z1=160∘\arg z_1 = 160^\circ, arg⁡z2=280∘\arg z_2 = 280^\circ. Atunci arg⁡z1+arg⁡z22=160∘+280∘2=220∘\frac{\arg z_1 + \arg z_2}{2} = \frac{160^\circ + 280^\circ}{2} = 220^\circ.
42 puncte
Se calculează sin⁡220∘=sin⁡(180∘+40∘)=−sin⁡40∘\sin 220^\circ = \sin(180^\circ + 40^\circ) = -\sin 40^\circ. Valoarea exactă: −sin⁡40∘-\sin 40^\circ (se poate menționa că sin⁡40∘≈0.6428\sin 40^\circ \approx 0.6428).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.