MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieNumere ComplexeSisteme de Ecuații Neliniare
Fie numerele complexe z1=cos⁡α+isin⁡αz_1 = \cos \alpha + i \sin \alpha și z2=cos⁡β+isin⁡βz_2 = \cos \beta + i \sin \beta. Să se demonstreze că ∣z1+z2∣2=2+2cos⁡(α−β)|z_1 + z_2|^2 = 2 + 2\cos(\alpha - \beta). Apoi, să se determine α\alpha și β\beta știind că z1⋅z2=iz_1 \cdot z_2 = i și ∣z1+z2∣=3|z_1 + z_2| = \sqrt{3}, cu α,β∈[0,2π)\alpha, \beta \in [0, 2\pi).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem z1+z2=(cos⁡α+cos⁡β)+i(sin⁡α+sin⁡β)z_1 + z_2 = (\cos \alpha + \cos \beta) + i(\sin \alpha + \sin \beta). Calculăm ∣z1+z2∣2=(cos⁡α+cos⁡β)2+(sin⁡α+sin⁡β)2=2+2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)=2+2cos⁡(α−β)|z_1 + z_2|^2 = (\cos \alpha + \cos \beta)^2 + (\sin \alpha + \sin \beta)^2 = 2 + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = 2 + 2\cos(\alpha - \beta).
22 puncte
Din z1⋅z2=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)=iz_1 \cdot z_2 = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta) = i, obținem cos⁡(α+β)=0\cos(\alpha + \beta) = 0 și sin⁡(α+β)=1\sin(\alpha + \beta) = 1, deci α+β=π2+2kπ\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
32 puncte
Din ∣z1+z2∣=3|z_1 + z_2| = \sqrt{3}, folosind identitatea demonstrată, avem 2+2cos⁡(α−β)=32 + 2\cos(\alpha - \beta) = 3, deci cos⁡(α−β)=12\cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}, adică α−β=±π3+2mπ\alpha - \beta = \pm \frac{\pi}{3} + 2m\pi, m∈Zm \in \mathbb{Z}.
43 puncte
Rezolvăm sistemele de ecuații pentru α,β∈[0,2π)\alpha, \beta \in [0, 2\pi). Pentru α−β=π3\alpha - \beta = \frac{\pi}{3} și α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}, obținem α=5π12\alpha = \frac{5\pi}{12}, β=−π12\beta = -\frac{\pi}{12}, ajustăm la [0,2π)[0, 2\pi): β=23π12\beta = \frac{23\pi}{12}. Similar pentru α−β=−π3\alpha - \beta = -\frac{\pi}{3}, obținem α=π12\alpha = \frac{\pi}{12}, β=5π12\beta = \frac{5\pi}{12}. Soluțiile sunt perechile (α,β)=(5π12,23π12)(\alpha, \beta) = \left( \frac{5\pi}{12}, \frac{23\pi}{12} \right) și (π12,5π12)\left( \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12} \right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.