MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateAsimptoteStudiul funcțiilor
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. Să se determine asimptotele graficului funcției și să se studieze convexitatea acesteia.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul de definiție: D=(0,∞)D = (0, \infty).
23 puncte
Asimptote verticale: lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+ln⁡xx=−∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} = -\infty, deci x=0x=0 este asimptotă verticală. Asimptote orizontale: lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞ln⁡xx=0\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 (folosind regula lui l'Hôpital sau proprietăți de creștere), deci y=0y=0 este asimptotă orizontală la ∞\infty. Nu există asimptote oblice.
33 puncte
Calculăm derivatele: f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}, f′′(x)=−3+2ln⁡xx3f''(x) = \frac{-3 + 2\ln x}{x^3}.
42 puncte
Studiem semnul derivatei a doua: f′′(x)=0⇒2ln⁡x−3=0⇒ln⁡x=32⇒x=e3/2f''(x) = 0 \Rightarrow 2\ln x - 3 = 0 \Rightarrow \ln x = \frac{3}{2} \Rightarrow x = e^{3/2}. Pentru x∈(0,e3/2)x \in (0, e^{3/2}), f′′(x)<0f''(x) < 0 (funcție concavă); pentru x∈(e3/2,∞)x \in (e^{3/2}, \infty), f′′(x)>0f''(x) > 0 (funcție convexă). Punctul x=e3/2x = e^{3/2} este punct de inflexiune.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.