MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieNumere Complexe
Folosind reprezentarea trigonometrică a numerelor complexe, demonstrați că pentru orice θ∈R\theta \in \mathbb{R}, avem cos⁡4θ=8cos⁡4θ−8cos⁡2θ+1\cos 4\theta = 8\cos^4\theta - 8\cos^2\theta + 1 și sin⁡4θ=4sin⁡θcos⁡θ(2cos⁡2θ−1)\sin 4\theta = 4\sin\theta\cos\theta(2\cos^2\theta - 1). Apoi, rezolvați în R\mathbb{R} ecuația cos⁡4x+sin⁡4x=1\cos 4x + \sin 4x = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrieți numărul complex z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos\theta + i\sin\theta și aplicați formula lui de Moivre: z4=cos⁡4θ+isin⁡4θz^4 = \cos 4\theta + i\sin 4\theta.
23 puncte
Calculați z4=(cos⁡θ+isin⁡θ)4z^4 = (\cos\theta + i\sin\theta)^4 folosind binomul lui Newton sau recurența, obținând cos⁡4θ−6cos⁡2θsin⁡2θ+sin⁡4θ+i(4cos⁡3θsin⁡θ−4cos⁡θsin⁡3θ)\cos^4\theta - 6\cos^2\theta\sin^2\theta + \sin^4\theta + i(4\cos^3\theta\sin\theta - 4\cos\theta\sin^3\theta).
32 puncte
Identificați părțile reale și imaginare: cos⁡4θ=cos⁡4θ−6cos⁡2θsin⁡2θ+sin⁡4θ\cos 4\theta = \cos^4\theta - 6\cos^2\theta\sin^2\theta + \sin^4\theta și sin⁡4θ=4cos⁡3θsin⁡θ−4cos⁡θsin⁡3θ\sin 4\theta = 4\cos^3\theta\sin\theta - 4\cos\theta\sin^3\theta, apoi folosiți identitatea sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta pentru a deduce formulele cerute.
42 puncte
Pentru ecuația cos⁡4x+sin⁡4x=1\cos 4x + \sin 4x = 1, folosiți formulele demonstrate și transformați-o în 8cos⁡4x−8cos⁡2x+1+4sin⁡xcos⁡x(2cos⁡2x−1)=18\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1 + 4\sin x\cos x(2\cos^2 x - 1) = 1, simplificați și rezolvați obținând soluțiile x=kπ2x = k\frac{\pi}{2} sau x=π8+kπ2x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2}, cu k∈Zk \in \mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.