MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definitePrimitiveArii și volume
Să se calculeze integrala definită ∫02∣x2−4x+3∣ dx\int_{0}^{2} |x^2 - 4x + 3| \, dx și să se determine aria regiunii mărginite de graficul funcției f(x)=∣x2−4x+3∣f(x) = |x^2 - 4x + 3|, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=2x=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se rezolvă ecuația x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0 pentru a găsi punctele de intersecție cu axa OxOx: x1=1x_1 = 1, x2=3x_2 = 3. Pe intervalul [0,2][0,2], funcția x2−4x+3x^2 - 4x + 3 este negativă pentru x∈(1,2]x \in (1,2] și pozitivă pentru x∈[0,1)x \in [0,1).
24 puncte
Se descompune integrala: ∫02∣x2−4x+3∣ dx=∫01(x2−4x+3) dx+∫12(−(x2−4x+3)) dx=∫01(x2−4x+3) dx+∫12(−x2+4x−3) dx\int_{0}^{2} |x^2 - 4x + 3| \, dx = \int_{0}^{1} (x^2 - 4x + 3) \, dx + \int_{1}^{2} (-(x^2 - 4x + 3)) \, dx = \int_{0}^{1} (x^2 - 4x + 3) \, dx + \int_{1}^{2} (-x^2 + 4x - 3) \, dx.
33 puncte
Se calculează primitivele: ∫(x2−4x+3) dx=x33−2x2+3x+C\int (x^2 - 4x + 3) \, dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x + C și ∫(−x2+4x−3) dx=−x33+2x2−3x+C\int (-x^2 + 4x - 3) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x + C. Se evaluează: ∫01(x2−4x+3) dx=[x33−2x2+3x]01=13−2+3=43\int_{0}^{1} (x^2 - 4x + 3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3}, ∫12(−x2+4x−3) dx=[−x33+2x2−3x]12=(−83+8−6)−(−13+2−3)=13\int_{1}^{2} (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{2} = \left( -\frac{8}{3} + 8 - 6 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) = \frac{1}{3}, deci integrala totală este 43+13=53\frac{4}{3} + \frac{1}{3} = \frac{5}{3}, care reprezintă aria cerută.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.