MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze identitatea trigonometrică sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și apoi să se rezolve ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Demonstrarea identității. Folosind formula a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2), avem sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x). Dar sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1, deci expresia devine (sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x).
26 puncte
Rezolvarea ecuației. Din identitate, ecuația devine (sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)=1(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) = 1. Notăm t=sin⁡x+cos⁡xt = \sin x + \cos x. Atunci t2=1+2sin⁡xcos⁡xt^2 = 1 + 2 \sin x \cos x, deci sin⁡xcos⁡x=t2−12\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}. Ecuația devine t(1−t2−12)=1t \left(1 - \frac{t^2 - 1}{2}\right) = 1, adică t(3−t22)=1t \left(\frac{3 - t^2}{2}\right) = 1, deci t(3−t2)=2t(3 - t^2) = 2, sau t3−3t+2=0t^3 - 3t + 2 = 0. Factorizăm: (t−1)2(t+2)=0(t-1)^2(t+2) = 0, deci t=1t=1 sau t=−2t=-2. Dar t=sin⁡x+cos⁡x=2sin⁡(x+π4)t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}), deci ∣t∣≤2|t| \leq \sqrt{2}, așadar t=−2t=-2 nu este posibil. Rămâne t=1t=1, adică sin⁡x+cos⁡x=1\sin x + \cos x = 1. Rezolvăm: 2sin⁡(x+π4)=1\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1, deci sin⁡(x+π4)=12=22\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. Atunci x+π4=π4+2kπx + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi sau x+π4=3π4+2kπx + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, pentru k∈Zk \in \mathbb{Z}. Pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi], obținem x=0x = 0 și x=π2x = \frac{\pi}{2}. Verificare: pentru x=0x=0, sin⁡30+cos⁡30=0+1=1\sin^3 0 + \cos^3 0 = 0 + 1 = 1; pentru x=π2x=\frac{\pi}{2}, sin⁡3π2+cos⁡3π2=1+0=1\sin^3 \frac{\pi}{2} + \cos^3 \frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1. Deci soluțiile sunt x=0x=0 și x=π2x=\frac{\pi}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.